Persamaan Gerak_Fisika XI

PERSAMAAN GERAK

     A.   Gerak Translasi

Posisi titik materi pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan sebuah vektor.

Posisi benda terhadap koordinat tiga  dimensi (sumbu x, sumbu y, dan sumbu z) dinyatakan sebagai:

            r = x ȋ + y ĵ + z ḱ

i, j, dan k adalah vektor satuan

Kecepatan(v) titik materi pada suatu bidang 3 dimensi dapat diturunkan(didiferensialkan) dari fungsi posisinya.

            v =  = ȋ +  + ḱ

Percepatan(a) titik materi pada suatu bidang 3 dimensi dapat diturunkan(didiferensialkan) dari fungsi kecepatannya atau merupakan turunan kedua dari fungsi posisinya.

           

            a =  = ȋ +  + ḱ

Jika fungsi kecepatan diketahui, kita dapat menentukan fungsi posisi dengan mengintegralkan fungsi kecepatan. Demikian juga jika fungsi percepatan diketahui, kita juga dapat menentukan fungsi kecepatan dengan mengintegralkan fungsi percepatan.

            r = r₀ +     dengan r₀ adalah posisi awal benda

 

            v = v₀ +      dengan v₀ adalah kecepatan awal benda

Gerak Rotasi

Posisi titik materi dalam gerak rotasi dapat dinyatakan dalam koordinat polar.

             s = R q

R adalah jari-jari lintasan melingkar, q adalah posisi sudut dalam satuan radian.

Kecepatan sudut(w) sesaat merupakan turunan dari posisi sudut.

            w =   

Percepatan sudut (a) sesaat merupakan turunan dari fungsi kecepatan sudut atau turunan kedua dari fungsi posisi sudut

            a =

Seperti halnya pada gerak lurus, pada gerak rotasi jika fungsi kecepatan sudut diketahui, kita dapat menentukan fungsi posisi sudut dengan mengintegralkan fungsi kecepatansudut. Demikian juga jika fungsi percepatan sudut diketahui, kita juga dapat menentukan fungsi kecepatan sudut  dengan mengintegralkan fungsi percepatan sudut.

            q = q₀ +     dengan q₀ adalah posisi sudut awal benda

 

            w = w₀ +      dengan w₀ adalah kecepatan sudut awal benda

Diferensial(Turunan)

Posisi, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam fungsi waktu(t).

Misalnya persamaan X = Atⁿ, A adalah sebuah konstanta

maka diferensial dari x =  = n A t^n-1

Contoh:

Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu X dengan persamaan posisi

X = 6t² + 2t + 10, dengan x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:

a.       Posisi benda saat 3 sekon

b.      Kecepatan benda saat 2 sekon

c.       Percepatan benda

Penyelesaian

Diketahui persamaan gerak benda x = 6t² + 2t + 10

Ditanyakan:

a.       r   pada saat  t = 3 sekon

b.      v   pada saat t = 2 sekon

c.       a

Jawab:

a.       posisi benda pada saat t = 3 sekon didapat dengan memasukkan nilai t ke dalam persamaan fungsi posisi

x = 6 (3²) + 2 (3) + 10

   = 54 + 6 + 10

   = 70

Jadi posisi benda pada saat 3 sekon adalah 70 meter

b.      kecepatan benda pada saat t = 2 sekon didapat dengan cara menurunkan persamaan fungsi posisi, dan selanjutnya memasukkan nilai t ke dalam persamaan kecepatan yang didapat.

v =  =  (6t² + 2t + 10)

   = 2.6t^2-1 + 1.2t^1-1 + 0.10t⁰

   = 12t + 2

Kecepatan pada saat t = 2 sekon adalah:

v = 12(2) + 2

   = 26

Jadi kecepatan benda saat 2 sekon adalah 26 m/s.

c.       Percepatan benda didapat dengan cara menurunkan fungsi kecepatan

a =  =  (12t + 2)

   = 12

Jadi percepatan benda setiap saat sama yaitu 12 m/s²

INTEGRAL

Apabila kita mempunyai persamaan dalam fungsi waktu(t), misalnya

X = Atⁿ dengan A adalah sebuah konstanta

Maka integral fungsi x(t) =

                                         =  tⁿ⁺¹ + C   dengan C adalah konstanta

Contoh

Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu adalah v = 12t + 2 dengan v dalam m/s dan t dalam sekon. Tentukan:

a.       Besarnya kecepatan benda saat 3 sekon

b.      Besarnya percepatan benda

c.       Besarnya posisi benda saat 2 sekon jika posisi awal  10 meter.

Penyelesaian

Diketahui persamaan kecepatan benda v = 12t + 2 m/s

Ditanyakan:

a.       v saat t = 3 sekon

b.      a

c.       x saat t = 2 sekon jika x₀ = 10 meter

                        Jawab:

a.       kecepatan benda saat t = 3 sekon

v = 12(3) + 2

   = 38

Jadi kecepatan benda pada saat 3 sekon adalah 38 m/s

b.      percepatan benda didapat dengan cara menurunkan persamaan kecepatan

a =  =  (12t + 2)

   = 12

Jadi percepatan benda setiap saat sama yaitu 12 m/s²

c.       Posisi benda diperoleh dengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan, kemudian memasukkan nilai t ke dalam persamaan yang diperoleh

x = x₀ +

   = 10 +

   = 10 + t¹⁺¹ +  t⁰⁺¹

   = 10 + 6t² + 2t

Persamaan posisi benda adalah x = 6t² + 2t + 10

Sehingga posisi benda pada saat t = 2 sekon adalah

x = 6(2²) + 2(2) + 10

   = 24 + 4 + 10

   = 38

Jadi posisi benda pada saat 2 sekon adalah 38 meter

Perhatikan kedua contoh soal di atas! Persamaan posisi yang didapat dari soal kedua sama dengan persamaan posisi pada soal pertama.